数学分析教学探究

体会用已知探求未知的过程，从规则到不规则的探究过程.不论是从数学分析的知识的学习把握，还是从学生解决问题能力的提高上都很重要.这是一个让学生更好学会认识和解决所有客观问题的思想方法，是提高解决问题能力的基本方法.例如，求圆的周长，未知曲边形周长用极限思想转化为已知正多边形周长，用已知探求未知，用规则的正多边形周长探求不规则的圆周长，工具是极限.数学分析里每一个问题的解决都毫无例外地使用了这一思想.整个数学分析的内容就清晰透彻地多次重复体现了这一过程.然而，在教学中我们发现，学生在做了很多题目后仍然没有用已知探求未知的意识.因此，教学中有必要就着极限实例不断强调这一思想方法，一方面，使极限本身更易于理解，另一方面，也提高了学生解决问题的能力.

（二）极限思想的关键是用极限将近似变成了相等

极限思想最让学生迷惑的是近似与相等的关系.很多学生在学完了极限定义之后一直认为是一个近似关系.我曾在不强调“相等”地按教材讲解该内容，讲解完后提问学生，百分之九十的学生回答 limn→∞1n+1=0指1n+1当n无限增大时近似于0.而事实是 limn→∞1n+1=0指当n无限增大时1n+1无限接近的数等于0.例如，刘徽“割圆术”中首先考虑圆内接正六边形（直边形）面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，考虑正多边形（直边形）面积近似代替圆（曲边形）面积时，边数越多近似效果越好，边数越多则正多边形面积愈來愈接近的就是圆的面积，即极限（无限接近）是圆的面积.一个“是”字体现了等.极限计算的是无限变化的结果是什么.明白将近似转化为相等的极限功能是极限思想的难点，教师强调清楚这一点是解决学生数学分析极限难题的关键.

（三）极限思想的具体步骤

极限思想的具体步骤：分割（定义域）→近似代替（在小范围用规则情况近似代替不规则情况）→求和（对整体进行近似代替）→取极限（分割无限小时的整体的趋势）.将定义域进行分割，极限思想和做法的四步骤贯穿了整个数学分析教材，每一次探讨极限思想的应用，不同的是研究的内容，相同的是极限的四个步骤，教师需要让学生明白做法是一样的，只是研究的函数发生了改变.在后续学习中不要一味讲解问题，而是引导学生依照前面的方法逐步探究得出后面的内容，这样就能真正把握和应用极限的思想.

（三）三大桥梁关系

数学分析中有三大桥梁，让学生掌握定理的同时，充分认识定理的桥梁特征对数学分析的问题解决有很好的帮助.①中值定理是搭建函数与导数的关系的桥梁，已知导数性质研究函数性质，或已知函数特性研究导数性质可考虑中值定理.②泰勒公式搭建起函数与级数的桥梁，将函数转化为级数，或将级数求和为函数.这样就可以通过级数研究函数或通过函数研究级数，让函数和级数的研究方法在函数与级数中灵活应用，从而解决很多函数研究中的难题.③牛顿-莱布尼兹公式建立了定积分与不定积分从定义上本不相关的两者之间的关系.不定积分是导数的逆运算，求全体原函数，而定积分是∑∞k=1f（ξk）Δxk在l（T）→0时的极限，两者是完全不同的定义，牛顿-莱布尼兹公式把两者结合在了一起，用原函数（不定积分）在两点的函数值之差来解决求定积分的复杂问题.

四、结束语

数学分析课程其实就是以极限思想概念和运算为基础的一个庞大的关系网，能深入探讨理解知识间的关系就能很好地把握和灵活应用该门课程，对于初学数学分析的大学入门生，在我校的二本和专科生中充分地体现出学生对这些知识网的把握程度是不理想的，所以在教学中不断强调知识间的这些关系是很必要的.通过教学实践，对以上关系的理解使学生大大降低了数学分析学习的难度.当然这里只介绍了几种大的知识关系，整个教材还涵盖着很多小的关系网，需要我们在具体教学过程中不断挖掘展现.

【参考文献】

[1]刘玉琏，傅沛任.数学分析讲义（上册）：第5版[M].北京：人民教育出版社，2008.

[2]刘玉琏，傅沛任.数学分析讲义（下册）：第5版[M].北京：人民教育出版社，2008.

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