摘 要：一般的微积分教材均利用三角形和扇形的面积不等式关系证明上述极限，本文利用圆内接三角形面积的计算，得到证明极限的一种新方法。
关键词：重要极限 圆内接三角形
中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（a）-0238-01
A New Proof of the Limit
Zhao Xin Shi Lin Zhai Lili
（Inner Mongolia University of Science & Technology College of Science and Biological-engineering，Baotou Inner Mongolia 014010，China）
Abstract：In General calculus textbook triangle and fan-shaped area of inequality relations certify that the above limit， using the circle inscribed triangle area calculation，this paper get a new proof of the limits of .
Key Words：Important limit；Circle Inscribed Triangle
1 引言
两个重要极限是高等数学极限理论中的经典内容，而第一个重要极限又是微积分极限理论中非常重要内容，其极限的证明，现行教材通常采用在单位圆中利用面积关系构造不等式，再用夹逼准则证明得到结论。用极限理论计算圆或扇形面积都涉及到的结论的运用，或者是用洛比达法则证明极限要利用导数公式，而这个公式恰是利用了，因此，这些利用三角形和扇形的面积不等式关系证明极限方法有所不妥；现在我们给出一种新的证明方法。
2 证明
在单位圆内用圆心角平均分圆，做出圆的一个内接多边形，并将多边形的顶点与圆心相连，得到一些等腰三角形.如果为正整数，就可以得到个内接三角形，其中个三角形的圆心角均为；否则记，此时，可以得到个圆内接三角形，其中个三角形的圆心角均为，剩下的一个内接三角形的圆心角为：
由于当时即为为正整数的这种情况，我们可以将第一种情况看为第二种情况的一个特例，故只要考虑第二种情况即可.现在来计算圆内接所有三角形的面积之和：
对于上式，为有界量，令时有，此时：
且当时，圆内接所有三角形的圆心角均趋于零，即，此时由极限的基本思想可以知道，故有：
即
若令，则有：
由于函数为偶函数，故有，即：
而一个表达式的极限与自变量的记号无关，可以证明极限：
.
参考文献
[1]M·克莱因.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，1979：135.
[2]同济大学数学系.高等数学（六版）[M].北京：高等教育出版社，2007：74.
[3]欧新元，李海英.由一个重要极限引发的问题[J].沈阳师范大学学报：自然科学版，2005，23（1）：27-29.
[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1980：42.
[5]赵明.关于重要极限的推证及应用[J].张家口职业技术学院学报，2008，31（3）：23-25.
[6]纪东刚.数学分析[M].华东师范大学出版社，2002：84-87.
[7]龚怀玉，等.数学分析[M].西安交通大学出版社，2001：48-53.
[8]王延源.对一个重要极限的注记[J].临沂师范学院学2001，23（6）：10-11.
[9]乌云敖日格乐.一个极限公式的四个推广命题[J].中国科教创刊，2008（24）：77-77.